La topologia és la branca de les matemàtiques que estudia les propietats invariants dels objectes geomètrics sota transformacions contínues.
A la pràctica, això ens proporciona una eina per classificar "formes" segons els seus forats, talls, interseccions, etc.
Des d'aquest punt de vista -i ja es nota que estic evitant entrar en formalismes-, quins objectes són equivalents, topològicament parlant? Doncs tots aquells tals que per passar d'un a un altre només es requereixin doblecs, allargaments, escurçaments... el que sigui sempre i quan no es facin "talls" ni "s'enganxin" punts amb altres punts.
Ens hem d'imaginar, doncs, que les figures són com de xiclet: un triangle fet de xiclet, el podríem deformar fins a obtenir un quadrat, sense haver de fer talls ni enganxar dos punts que abans estaven separats. Per tant, són topològicament equivalents (rigorosament s'anomena que són homeomorfs). Un cub i una esfera també serien equivalents, perquè en puc deformar un fins a arribar a l'altre.
Arribats a aquest punt, s'ha de confessar, però, que he sigut una mica fal·laç en la definició donada. Es pot donar el cas de dos espais topològics que siguin equivalents i que, això no obstant, no existeixi cap deformació visualitzable que vagi d'un a l'altre. Per aquells interessats, us remeto a la definició rigorosa d'homeomorfisme (una funció contínua entre espais topològics d'inversa també contínua).
Seguim, doncs: existeixen exemples pràctics de tot plegat? I tant que sí! Per tot arreu en podem trobar a cabassos. Tan sols hem de fer una ullada al mapa del metro o de Rodalies: és ben clar que la trajectòria dels ferrocarrils ni és tan recta ni tan senzilla, però les interseccions es mantenen i mirar als plànols és tan còmode...
Anem a un exemple un pèl més complicat, però típic: el donut (l'anomenat tor, que és l'espai producte $S \times S$, on $S$ és la circumferència usual). Un donut i una esfera són equivalents? No, perquè per passar d'una esfera a un donut hauríem d'exigir que es fes un forat, i això està prohibit. Però un donut i una tassa de cafè sí que són equivalents. Com arribem d'un a l'altre? Només hem de fer una ullada al següent gif:
Un cop adquirida la intuïció sobre el tipus de transformacions permeses en topologia, us deixo un problema visual. Es tracta de trobar la "deformació" que ens permet passar del primer al segon objecte (evidentment és una transformació en dos sentits: puc passar del primer al segon i, desfent el que he fet, puc passar del segon al primer). Ja podeu agafar llapis i paper i començar a rascar-vos el cap (i si trobeu una manera de fer-ho, pengeu un link amb un dibuixet!):
.png)
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada