Tots som transgènics

Fa mesos, a principis d'estiu de l'any passat si no recordo malament, vaig enganxar aquest programa per casualitat al canal 33. Enrique Cerdá, catedràtic de genètica de la Universitat de Sevilla, parlava sense pèls a la llengua de totes aquelles qüestions tan controvertides que afecten els aliments. 

Com sempre, s'hi estigui d'acord o no (i en aquest cas costa no estar-hi d'acord), és un plaer escoltar algú que en sap de debò i és un expert en la matèria. I amb els transgènics, aquest pou tan ple de desconeixement i demagògia, amb qui tothom s'hi atreveix però la majoria no en sap prou, és encara més agradable. 

Us deixo el vídeo, per si us sobra mitja horeta i voleu omplir-la amb quelcom educatiu. 

Escull la teva teràpia alternativa

La medicina científica no et fa el pes? Els estudis clínics no tenen cap significat per a tu? Hi ha tantes teràpies alternatives que no saps quina triar? Cap problema, amb aquest diagrama segur que trobaràs la que més s'adiu a les teves necessitats!

La idea original del diagrama és de Cristian Jago, jo només l'he traduït al català.

El país dels habitants amb els ulls verds

Un problema/endevinalla que és més subtil del que pugui semblar a primer cop d'ull:

Tenim un país amb 1000 habitants, 100 dels quals tenen els ulls verds i la resta els tenen marrons. Per tradició, és tabú parlar del color dels ulls i ningú en fa mai cap esment. A més, no tenen miralls ni cap mena de material reflectant, de manera que una persona no pot saber de cap manera de quin color són els seus ulls però coneix el color dels ulls de la resta de la població. També tenen una llei que dicta que, si per qualsevol motiu, algun habitant descobreix que té els ulls verds, l'endemà al matí s'haurà de suïcidar. 

En algun moment, un foraster arriba a la illa i fa el següent comentari, que tothom escolta: "que curiós m'ha resultat veure algú en aquesta illa amb els ulls verds com jo". La pregunta és, assumint que els habitants de la illa són perfectament lògics (això significa que arribaran a qualsevol conclusió que pugui ser deduïda lògicament a partir de la informació de què disposin), quina conseqüència (si és que en té alguna) tindrà la frase del foraster?

-----------------

La manera més senzilla de veure què passa és suposar que, en comptes de 100 persones amb els ulls verds, n'hi ha 1, 2, 3... i anar-ne augmentant el nombre (el que es diu actuar per inducció).

En cas que n'hi hagués 1 de sol, la persona per a qui tots els altres habitants tenen els ulls marrons sabria que té els ulls verds al mateix moment que el foraster digués que hi ha una persona amb els ulls verds. Per tant, a mitjanit es suïcidaria.

En cas que n'hi haguessin dos, aquests dos individus veurien una sola persona amb els ulls verds: ara bé, en cas que en total només hi hagués una persona amb els ulls verds, aquesta seguiria el raonament anterior i al final de la primera nit es suïcidaria. Com que no és el cas, a la primera mitjanit ningú es suïcida i, per tant, les dues persones dedueixen que tenen els ulls verds. Per tant, a la segona nit, les dues persones amb els ulls verds es suïcidarien.

I així successivament: per tant, en el cas en què 100 persones tinguin els ulls verds, a la 100-èssima nit es suïcidarien tots de cop.

Ara bé, l'argument "El foraster no diu res que els habitants del país no sabessin abans" sembla correcte, i això entra amb contradicció amb el que s'ha dit abans. On és l'error (subtil) en aquesta sentència?

Que el foraster ha proporcionat alguna informació als habitants del país és clar: altrament, no hi hauria "tret d'inici" als suïcidis. El truc rau en el fet que no és informació de primer ordre, i això fa que sigui poc intuïtiu. És a dir, no n'hi ha prou amb saber que hi ha persones amb els ulls verds, sinó que també és important "els altres saben que hi ha persones amb ulls verds" i successivament.

Recobriment d'un interval no tancat

De la mètrica de Riemann passes a les connexions afins, de les connexions afins passes a les derivades covariants i als invariants, la curvatura i la torsió. Aviat comencen els problemes, et comencen a sortir els símbols de Christoffel per les orelles i fas una ullada a la Wikipedia per mirar d'esclarir dubtes: però això és la teva perdició, perquè amb tants links, tants gràfics i tanta informació és inevitable començar a saltar d'article a article. Acabes fent click a una pàgina amb una demostració de la cèlebre Hipòtesi de Riemann, però el document ha estat retirat temps enrere pel propi autor per "error a la pàgina 29". Tornes enrere i fas una ullada a un blog amb una explicació poc rigorosa però entenedora de l'error, i amb comentaris d'un parell de matemàtics que el van trobar, un d'ells el guanyador de la medalla Fields (l'equivalent al Nobel de les Matemàtiques) Terence Tao. Acabes l'article i a l'epitafi hi posa "per cert, fent click a les imatges dels matemàtics podeu arribar al seu blog". I ho fas, i arribes al blog d'en Tao, on fa no gaire dies va publicar una qüestió que algú li va formular mentre donava classe:

És possible recobrir un interval no tancat, tal com $[0,1)$, com a unió numerable d'altres intervals tancats disjunts?

Així que ja teniu feina. Ah, i tant per tant, si sou del gremi, feu una ullada al blog What's new, d'on he extret el problema. El senyor Terence Tao és un matemàtic de primer nivell mundial i el més probable és que no entengueu ni un borrall de res, però us ho recomano encara que sigui només per curiositat.

Hawking diu que...

The Town representa que és bona, i he pensa..' 'EL FÍSIC STEPHEN HAWKING DECLARA QUE THE TOWN ÉS LA NOVA MILLOR PEL·LÍCULA DE L'ESPAI-TEMPS' 'No, és només que he sentit que--"HAURIA LA CIÈNCIA D'ASSUMIR UN ROL JUTJANT BEN AFFLECK?' 'No crec que...' 'I SOBRE MATT DAMON?

M'ha fet gràcia aquesta tira còmica d'xkcd perquè vaig pensar exactament el mateix. Em reconforta veure que no sóc l'únic que pensa que els criteris de publicació i la prioritat que donen a certes notícies la majoria dels mitjans de comunicació estan esbiaixats i, a més, són incendiaris. I si no sabeu de què parlo, feu un cop d'ull a això, i això, i això, i això, i...

Qui ha escrit els articles demostra saber-ne ben poc de ciència i dels temes que tracta.

El més trist de tot plegat és que Stephen Hawking no va dir pas que Déu no existia; més aviat que el clàssic argument de Déu com a inici de l'engranatge és fal·laç, i completament innecessari des de la perspectiva científica actual, cosa que per altra banda no és cap novetat. Però, ep! ho ha dit Stephen Hawking.

I això, què és? 3

Aparentment són un munt de cables desordenats... La solució als Comentaris.

Monedes i més monedes

Seguim amb més problemes. Avui va de balances, de pesar monedes i comparar-les:

Enunciat: Tenim una bossa plena amb $2n+1$ monedes, de la qual ens asseguren que $n$ són d'or pur i $n+1$ són d'algun metall barat revestit amb pintura daurada. A ull nu és impossible diferenciar-les, i l'únic que sabem és que totes les monedes d'or pesen el mateix i que una moneda falsa qualsevol pesa exactament un gram més o un gram menys (que una d'or). Disposem, també, d'una balança mecànica que ens indica la diferència de pes entre els seus dos plats.

La pregunta és: com podem saber, amb una sola pesada (en què podem pesar el que vulguem), si una moneda és vertadera o falsa?

------------

Idea de la solució: agafem la moneda que volem estudiar i la separem de la resta. Per tant ens queden $2n$ monedes, que separem en dos pilots qualssevol d'$n$ monedes. Cadascun d'aquests pilots els posem a un plat de la balança i mesurem la diferència de pes. Que la moneda sigui falsa o sigui vertadera només depèn de la paritat (si es tracta d'un valor parell o senar) de la mesura. Sabríeu dir per què?

Com les ungles

Una manera senzilla d'imaginar la velocitat de separació de les plaques tectòniques d'Amèrica i Europa és pensar que les nostres ungles creixen igual de ràpid.

Dades, dades, més dades!!!

Música i matemàtiques 1

Música i matemàtiques. Notes i nombres. Simfonies i teoremes. Podem trobar-hi tantes analogies com vulguem: i és que es tracta de dues disciplines diferents que, malgrat l'aparent separació, tenen punts de trobada i equivalències. Fins i tot (encara que pugui sorprendre als puristes) hi ha una alta correlació entre individus d'un gremi i de l'altre.

Quan es pensa en matemàtiques i música, el primer que ve al cap -potser perquè és el més evident- és que entre la rítmica i els números hi ha d'haver una connexió estreta. Però, de tanta que és l'evidència, que no té gaire gràcia: dient que una peça és un 3/4 o un 4/4 ja no queda gaire més a dir, i voler-hi trobar més semblances és excessiu (a tall d'exemple, recordo haver assistit a una conferència sobre Matemáticas y flamenco (haver-hi assistit és l'únic que recordo, perquè tan aviat vaig seure em vaig posar a escoltar música de l'mp3)). De manera que anirem un pas més enllà i ficarem el cap al món de les freqüències, afinacions i harmonia.

La música per se va néixer fa milers d'anys amb objectius diversos que no discutirem. El tambor i la percussió en general segurament fossin els primers en aparèixer -per raons evidents-, però en algun moment de la història de la civilització, a algú (és probable que fos grec) se li va acudir construir una arpa rudimentària, amb una corda. Aquest personatge estava molt content i orgullós de la seva creació, però aviat es va avorrir de tocar només una sola nota, i es va posar a experimentar. Ben aviat va descobrir un fet molt interessant: si afegia una corda de longitud $\frac{1}{2}$ de la corda original a l'arpa, al pinçar-la sonava la mateixa nota que abans, però més aguda (el que avui anomenaríem l'octava). I si dividint la corda en dos s'obtenien notes interessants, ben segur que dividint-la en altres fraccions exactes en trobaria més: no va tardar a descobrir que al dividir-la en tres parts s'obtenia la quinta, el segon dels harmònics.

Fent un incís, abans sense voler hem introduït la noció de freqüència. La freqüència (aplicant-ho al nostre cas) és el nombre de batecs sonors d'un instrument per segon, i es mesura en Herzs: una nota més aguda tindrà més Hz que una de més greu, i, concretament, l'octava d'una certa nota tindrà el doble de Hz que l'original (e.g. el La que s'utilitza per afinar té 440 Hz, i per tant el següent La tindrà 880 Hz). Així doncs, el nostre grec, al dividir la corda en tres parts no havia descobert la quinta exactament, ja que s'havia trobat amb una nota encara més aguda que l'octava (perquè tenia tres cops més Hz que l'original). Si volia aconseguir-ne una que es trobés entre la nota i l'octava, havia de multiplicar la longitud per dos, obtenint la fracció $\frac{2}{3}$ (podríem dir que, musicalment, dividir una nota per dos no la canvia perquè per la nostra percepció una nota i la seva octava -ja sigui cap amunt o cap avall- són la mateixa).

I aquest és l'inici de l'escala musical moderna: agafar una corda, dividir-la en 2, 3,... parts i col·locar-les de manera que el resultat sigui agradable a l'oïda (això sí: dividint per dos els cops que faci falta per tal que tot plegat quedi comprès entre dues octaves). Si ara agaféssim la corda original i la dividíssim per 4, què obtindríem? Doncs la mateixa nota, però dues octaves més aguda (dividir per 4 és dividir per 2 dos cops... i això fa olor de nombres primers). D'aquí deduïm que dividint la corda per nombres que ja haguem provat amb anterioritat no obtenim notes noves, només notes més agudes. I si la dividíssim per 5? 5 és un nombre primer, i no es pot descompondre en notes que haguem obtingut fins ara: es tracta d'una nota nova, la famosa tercera major. Així, si anem recorrent tots els nombres primers anirem obtenint notes "noves", tot i que cada cop seran més allunyades de l'original i sonaran més malament quan les toquem plegades. Per acabar d'il·lustrar aquests conceptes, us deixo un fragment del clàssic de Disney Donald in Mathmagic Land (amb subtítols en català!).

Un problema d'escacs i mates

Ja és setembre i no em queden excuses per no començar a publicar contingut una mica més original. Doncs dit i fet: us porto un problema que barreja escacs i matemàtiques alhora. Ep! No us espanteu, que és molt senzill. L'enunciat diu el següent:

Enunciat: Tenim el següent joc que anomenarem escacs dobles: es tracta d'un joc idèntic als escacs clàssics, excepte pel fet que a cada torn cada jugador fa dues tirades en comptes d'una. Demostreu que amb aquestes normes, el jugador que porta les blanques sempre pot forçar, com a mínim, les taules.

Indicació: només s'ha de demostrar que existeix, no s'ha de trobar l'estratègia en si!

----------------

Actualització i solució:

Ho farem per reducció a l'absurd: anomenarem als jugadors de blanques i negres jugador A i B respectivament. Suposem que no existís l'estratègia demanada: això només pot significar que el jugador B sempre pot guanyar la partida. Però si el jugador A, amb les seves dues primeres tirades, mou el cavall i després el torna a situar darrere els peons, la seva posició és perfectament simètrica a la que tenia el jugador B a l'inici de la partida, i per tant el jugador A sempre ha de poder guanyar. I això és una contradicció.

Evolució

Ja he semi-tornat de vacances (que en realitat no han sigut tals, però m'han mantingut allunyat de la xarxa). Quan tingui més temps per perdre i un espai més reduït per fer-ho tornaré a actualitzar el blog més assíduament.

Què és això?

Aparentment alguna cosa bastant fastigosa...

En quin sentit gira?

Es tracta d'un gif animat força antic, però tot i així segueix sent genial. Felicitats al seu inventor, sigui qui sigui.

La pregunta és: en quin sentit gira, horari o anti-horari?

Si us hi heu entretingut una estona potser heu quedat confosos: no hi ha cap resultat correcte o incorrecte, senzillament la dona gira en ambdós sentits si un és capaç d'imaginar-s'ho. La impressió que la figura té 3 dimensions -i per tant que la rotació és de l'espai- és producte del cervell, que s'encarrega de fer veure més del que hi ha en realitat: perquè, de fet, es tracta només d'una imatge en dues dimensions, d'una projecció. La gràcia i enginy de qui el va idear és que és possible imaginar-s'ho en els dos sentits, horari i anti-horari. Saber veure-ho en una banda o altre no té res a veure amb hemisferis cerebrals predominants (que, per cert, ho he llegit a algun lloc): és només una qüestió de pràctica. Si només veieu rotació en un sentit i us el torneu a mirar, segurament en algun moment descobrireu que de cop i volta la noia gira a l'inrevés: no és que la imatge hagi canviat, és només la percepció. Si s'hi juga una mica és possible canviar-ho a voluntat.
Es tractaria d'un cas més o menys anàleg al típic dibuix dels cubs, que segons com te l'imaginis els cubs surten i segons com entren:

El vals del telescopi

Un vídeo meravellós fet en time-lapse del telescopi MAGIC del Roque de los Muchachos, a la illa de La Palma.

El telescopi, un reflector, té un radi de $17m$ i una superfície útil de $240m^2$, i al vídeo es pot apreciar com, en diversos intervals, es mou seguint la trajectòria d'algun cos celest. Si heu fet anar un aparell d'aquests algun cop (no necessàriament tan gran evidentment), ja sabreu que, quan es vol fer astrofografia -i especialment del cel profund-, el telescopi ha d'anar seguint el cos i contrarestant la rotació de la Terra, perquè normalment la radiació electromagnètica que ens arriba és molt dèbil i cal captar-la durant molta estona per tal d'obtenir una imatge nítida i lluminosa. Es pot observar també que el detector es recolza sobre un arc en forma de catenària.

I tot plegat sota el segon moviment de la Patètica de Tchaikovsky... un vals 5/4!

(Mireu-lo en alta definició)

Cabanes i pous

Últimament l'Hotel infinit s'està convertint en un blog de petit format: hom podria atribuir-ho a la falta de motivació, a aquell inevitable període de la vida blogaire en què actualitzar resulta una càrrega; ara mateix, però, de ganes i esperit no me'n falten. És més: sempre ressorgeixen a la mateixa època, i sospito que la correlació amb els exàmens és notable. Sigui com sigui: hom hauria d'atribuir-ho a l'escassetat de temps de l'autor, i, ara sí, encertaria. Així doncs, mentre els exàmens segueixin ben visibles a l'horitzó la història seguirà invariable, i el director de l'hotel, en la seva croada personal contra la procrastinació, seguirà optant per les entrades en mode degustació.

Avui us porto un bonic -i clàssic- problema, apte per a tots els públics, que us farà dibuixar i gastar full rere full:

Tenim tres cabanes (simbolitzades per punts de color vermell) i tres pous (simbolitzats per punts de color blau). Els propietaris de les cabanes volen connectar amb camins cadascuna de les seves cabanes amb cadascun dels pous, amb la condició que dos camins diferents no es poden creuar (en total, doncs, hi ha d'haver 9 camins diferents).

És possible aconseguir-ho? En cas que sí, doneu un dibuix de la solució, i en cas que no demostreu-ho.

La solució en un parell o tres de dies. Com a pista inicial: proveu-ho amb llapis i paper i rendiu-vos a l'evidència.

--------

Actualització: solució del problema

La resposta és que és impossible, i la clau es troba en la famosa fórmula d'Euler de grafs planars. Suposem que tenim una figura que compleix les condicions del problema: aleshores s'ha de complir:

\[V+C=A+2\]

On $V$ és el nombre de vèrtexs, $C$ és el nombre de cares i $A$ és el nombre d'arestes. Si la figura que volem construir fos possible, aquesta tindria $V=6$ (tres cabanes i tres pous) i $A=9$ (de cada cabana en surten tres camins). De la fórmula en deduïm que $C$ hauria de ser $5$. Ara bé, notem que les cares que tindríem com a mínim haurien de ser quadrilàters (és a dir, polígons de quatre costats): de dos costats no podria ser, perquè ens trobaríem amb dos camins sortint de la mateixa casa i anant al mateix pou, i de tres tampoc perquè aleshores tindríem alguna casa connectada amb alguna altra casa, o algun pou connectat amb algun altre pou, cosa que no està permesa. Ara, comptant que cada línia formaria part de dos polígons alhora, tenim que hi hauria d'haver $\frac{5.4}{2}=10$ línies (5 cares, per quatre arestes com a mínim per polígon i dividit entre dos perquè cada aresta forma part de dues regions alhora). I això evidentment es contradiu amb el fet que tinguem $9$ arestes.

I això què és?

He trobat, mentre procrastinava per la xarxa, un dipòsit de fotografies força espectaculars (la majoria fetes amb microscopi electrònic) de coses ben diverses. En general costa d'imaginar de què es tracta, de manera que de tant en tant n'aniré posant per tal que feu les vostres suposicions. Posaré la resposta als comentaris.

Començarem per una fotografia d'un material d'allò més normal. Segur (vaja, espero i desitjo) que tots en teniu per casa:

Problema (poc ortodox)

Imaginem una situació en què dos discuteixen, i un té raó i l'altre no. Cap dels dos està disposat a cedir, i el que està equivocat està convençut que és l'altre qui va errat: aleshores, quin valor té el no estar equivocat, si ningú reconeix en un dels dos el vencedor i en l'altre el perdedor? La posició dels adversaris és simètrica, i en aquesta situació el fet de "tenir la raó" seria quelcom a determinar per un tercer personatge: la raó estaria, doncs, subjugada socialment. La pregunta és: a falta d'un àrbitre extern, té alguna manera aquell qui té la raó de decantar la balança al seu favor?

------

(No us demano cap demostració ni cap resposta única perquè no existeix. Dic que el problema és poc ortodox perquè, segurament, es pot respondre de moltes maneres: així doncs, doneu-ne una).

Power-Ballance

Power-Ballance és el nom de l'últim objecte miracle que ha sortit al mercat: essencialment consisteix en una polsera de plàstic amb un adhesiu reflectant com aquells que donaven als cromos dels Bollycaos. Bé, potser no ho he dit tot: perquè, a més, representa que dóna suposats "súper poders" i gran "estabilitat" a aquells qui el porten. Amb dos dits de seny qualsevol persona hauria de veure que tot plegat és un frau, però a la pràctica resulta que tenir dos dits de seny és una cosa poc comuna.

Personalment veig una gran similitud entre aquests objectes miraculosos que funcionen sense que se sàpiga com (i que no són precisament barats, perquè 35€ (sí, com ho llegiu) per un tros de silicona no només és vergonyós, és repugnant) i el pa de cada dia, que aglutina homeopatia, posaunnomestrany-teràpies i els seus amiguets. Després de parlar-ho força i de fer enfadar notòriament alguns amics, he arribat a la conclusió que la bena que porten als ulls se l'han posat ells mateixos, o que com a mínim són ells els qui han decidit de deixar-la quieta on està. A les persones ens costa reconèixer que de vegades ens equivoquem, especialment si hem col·laborat en el nostre auto-engany amb un desemborsament considerable. Quina vergonya reconèixer la posició d'altri, sense atendre a la raó! És més senzill contraatacar i dir que en aquest món no tot és cerebral, i si això és un placebo és la meva decisió. A més, a la meva germana li va funcionar.

A dia d'avui, encara no he aconseguit convèncer cap defensor acèrrim d'aquestes teràpies i mètodes que tot plegat és una estafa ridícula. Però seguirem intentant-ho: perquè, tal com ho veig, aquí la qüestió no és si prendre homeopatia i/o anàlegs és lícit o no (tothom és lliure de gastar-se 35 euros en una power-ballance i lluir la seva estupidesa portant-la al canell amb orgull), sinó si té algun fonament al darrere i, sobretot, si és ètic el negoci que s'hi fa al darrere. Si els productes miracle són un frau, doncs això s'ha de denunciar. De la mateixa manera, si algú és feliç creient que menjant herba del camp es guarirà la seva pulmonia, doncs que vagi fent: però si ve un paio i comença a vendre les fulles d'herba a 10 euros la peça, la situació canvia.

La solució oblidada

La solució al problema proposat (i que pràcticament havia oblidat!): demostrar que un tor amb dos forats i un tor amb dos forats encadenat amb si mateix eren homeomorfs. Tot i que, pels matemàtics, es tractava de quelcom trivial a simple vista (pel conegut i ben útil lema de "tallar i enganxar"), existeix una transformació de les de "tota la vida". Un problema ben bonic:

(Dibuixos cortesia d'el Ziol del Racó Català).

Els animals són gent simpàtica...

Aquest és el títol d'un documental genial del 1974, centrat en les curiositats (que des d'aquest blog tan reivindiquem) de la fauna d'un petit oasi al mig del desert. En un moment donat, les fruites d'un arbre de l'oasi es comencen a fermentar, i els animals, famolencs, acaben fent tombarelles i anant de tort. Em sembla que tots ens hi sentirem identificats: