Seguim amb més problemes. Avui va de balances, de pesar monedes i comparar-les:
Enunciat: Tenim una bossa plena amb $2n+1$ monedes, de la qual ens asseguren que $n$ són d'or pur i $n+1$ són d'algun metall barat revestit amb pintura daurada. A ull nu és impossible diferenciar-les, i l'únic que sabem és que totes les monedes d'or pesen el mateix i que una moneda falsa qualsevol pesa exactament un gram més o un gram menys (que una d'or). Disposem, també, d'una balança mecànica que ens indica la diferència de pes entre els seus dos plats.
La pregunta és: com podem saber, amb una sola pesada (en què podem pesar el que vulguem), si una moneda és vertadera o falsa?
------------
Idea de la solució: agafem la moneda que volem estudiar i la separem de la resta. Per tant ens queden $2n$ monedes, que separem en dos pilots qualssevol d'$n$ monedes. Cadascun d'aquests pilots els posem a un plat de la balança i mesurem la diferència de pes. Que la moneda sigui falsa o sigui vertadera només depèn de la paritat (si es tracta d'un valor parell o senar) de la mesura. Sabríeu dir per què?
.png)
1 comentari:
amb la pista i pensant-hi una mica em sembla que ho he entès:
l diferència de pes és igual al nombre de monedes d'or de més que té un dels pilons.
la resta de monedes de cada piló podem pensar que te una parella idèntica en l'altre piló. per tant aquest total seria un nombre parell de monedes. si el diferència és també parell, vol dir que entre els dos pilons en total hi ha un nombre parell de cada tipus de monedes, per tant he hagut d'agafar la falsa.
si la diferencia es senar, vol dir que entre els dos pilons en total hi ha un nombre senar de cada tipus de monedes, per tant he hagut d'agafar la d'or.
és així? o m'he colat?
Publica un comentari a l'entrada