Música i matemàtiques 1

Música i matemàtiques. Notes i nombres. Simfonies i teoremes. Podem trobar-hi tantes analogies com vulguem: i és que es tracta de dues disciplines diferents que, malgrat l'aparent separació, tenen punts de trobada i equivalències. Fins i tot (encara que pugui sorprendre als puristes) hi ha una alta correlació entre individus d'un gremi i de l'altre.

Quan es pensa en matemàtiques i música, el primer que ve al cap -potser perquè és el més evident- és que entre la rítmica i els números hi ha d'haver una connexió estreta. Però, de tanta que és l'evidència, que no té gaire gràcia: dient que una peça és un 3/4 o un 4/4 ja no queda gaire més a dir, i voler-hi trobar més semblances és excessiu (a tall d'exemple, recordo haver assistit a una conferència sobre Matemáticas y flamenco (haver-hi assistit és l'únic que recordo, perquè tan aviat vaig seure em vaig posar a escoltar música de l'mp3)). De manera que anirem un pas més enllà i ficarem el cap al món de les freqüències, afinacions i harmonia.

La música per se va néixer fa milers d'anys amb objectius diversos que no discutirem. El tambor i la percussió en general segurament fossin els primers en aparèixer -per raons evidents-, però en algun moment de la història de la civilització, a algú (és probable que fos grec) se li va acudir construir una arpa rudimentària, amb una corda. Aquest personatge estava molt content i orgullós de la seva creació, però aviat es va avorrir de tocar només una sola nota, i es va posar a experimentar. Ben aviat va descobrir un fet molt interessant: si afegia una corda de longitud $\frac{1}{2}$ de la corda original a l'arpa, al pinçar-la sonava la mateixa nota que abans, però més aguda (el que avui anomenaríem l'octava). I si dividint la corda en dos s'obtenien notes interessants, ben segur que dividint-la en altres fraccions exactes en trobaria més: no va tardar a descobrir que al dividir-la en tres parts s'obtenia la quinta, el segon dels harmònics.

Fent un incís, abans sense voler hem introduït la noció de freqüència. La freqüència (aplicant-ho al nostre cas) és el nombre de batecs sonors d'un instrument per segon, i es mesura en Herzs: una nota més aguda tindrà més Hz que una de més greu, i, concretament, l'octava d'una certa nota tindrà el doble de Hz que l'original (e.g. el La que s'utilitza per afinar té 440 Hz, i per tant el següent La tindrà 880 Hz). Així doncs, el nostre grec, al dividir la corda en tres parts no havia descobert la quinta exactament, ja que s'havia trobat amb una nota encara més aguda que l'octava (perquè tenia tres cops més Hz que l'original). Si volia aconseguir-ne una que es trobés entre la nota i l'octava, havia de multiplicar la longitud per dos, obtenint la fracció $\frac{2}{3}$ (podríem dir que, musicalment, dividir una nota per dos no la canvia perquè per la nostra percepció una nota i la seva octava -ja sigui cap amunt o cap avall- són la mateixa).

I aquest és l'inici de l'escala musical moderna: agafar una corda, dividir-la en 2, 3,... parts i col·locar-les de manera que el resultat sigui agradable a l'oïda (això sí: dividint per dos els cops que faci falta per tal que tot plegat quedi comprès entre dues octaves). Si ara agaféssim la corda original i la dividíssim per 4, què obtindríem? Doncs la mateixa nota, però dues octaves més aguda (dividir per 4 és dividir per 2 dos cops... i això fa olor de nombres primers). D'aquí deduïm que dividint la corda per nombres que ja haguem provat amb anterioritat no obtenim notes noves, només notes més agudes. I si la dividíssim per 5? 5 és un nombre primer, i no es pot descompondre en notes que haguem obtingut fins ara: es tracta d'una nota nova, la famosa tercera major. Així, si anem recorrent tots els nombres primers anirem obtenint notes "noves", tot i que cada cop seran més allunyades de l'original i sonaran més malament quan les toquem plegades. Per acabar d'il·lustrar aquests conceptes, us deixo un fragment del clàssic de Disney Donald in Mathmagic Land (amb subtítols en català!).