Simultani

Simultani: un concepte un pèl complicat quan un està quiet i és l'altre qui fa tota la feina... encara més si es mou a velocitats pròximes a la llum.

He de dir que no he entès la vinyeta fins que no he llegit la nota al peu de la imatge:

I'm leaving you for your twin. He's more mature than you by now.

Molt bo. XKCD segueix sent tan recomanable com sempre.

L'hotel infinit i com omplir-lo

Com omplir un hotel infinit que té totes les habitacions plenes?

Si les habitacions estan totes plenes, com s'ho fan per encabir-hi un hoste més? Doncs molt senzill, cada hoste se'n va a l'habitació següent de la seva: l'1 a la 2, el 2 a la 3, etc. Tots els hostes tenen habitació, i a més queda la primera lliure.
Si venen infinits hostes, com ho fem? Doncs molt senzill també: cada hoste se'n va a l'habitació número el doble a l'actual: el 1 aniria a la 2, el 2 a la 4, el 6 a la 12, etc. I quedarien infinites habitacions: totes les senars.
Finalment, què faríem si venen infinits grups d'infinits hostes? Doncs no és tan senzill com fins ara, però  en certa manera ja és previsible què toca: construïm l'aplicació de $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ definidia de manera que $k\mapsto f(k)=2^k$, on $k$ és un nombre natural, i enviem l'hoste de l'habitació $k$-èssima a l'habitació $f(k)$. Evidentment, encara queden moltes habitacions. Ara, assignem a cada grup infinit d'hostes un nombre primer (no hi ha cap problema en fer-ho perquè hi ha infinits nombres primers), i numerem cada hoste de dins de cada grup. Així, l'hoste número $k$ del grup $p$ l'enviem a l'habitació $p^k$, i problema resolt.

De fet, encara ens sobrarien infinites habitacions: aquesta faula és un exemple més que la unió numerable de conjunts numerables és, també, un conjunt numerable (una definició que s'usa normalment per decidir si el cardinal d'un conjunt és infinit, és el fet de poder establir una aplicació bijectiva entre el conjunt total i un subconjunt estrictament més petit).

El cotxe que vivia sobre un arbre

A qui hagi llegit o vist alguna pel·lícula de Harry Potter, això potser li sonarà... Però de totes maneres segueix sent bastant surrealista, perquè aquest arbre deu fer ben bé 10 metres d'alçada.

M'encantarà llegir les vostres teories de com coi hi va arribar allà dalt, a veure qui ho endevina :)

----

Solució: l'arbre aquest mesura ben bé 10 o 12 metres, de manera que suposar que l'arbre ha arribat fins a dalt amb un tornado, un huracà o que algú s'ha pres la molèstia de posar-lo, és suposar molt. De fet la cosa és al revés: no va ser el cotxe qui es va posar a sobre l'arbre, sinó l'arbre que va créixer sobre un cotxe abandonat als anys 70. Cal dir que és un arbre d'aquells que fan cautxo, que creixen molt ràpid i són molt "elàstics" en la forma.

Nombres no computables

Vaig llegir, si no recordo malament a Microsiervos, una anotació que parlava sobre nombres que no són computables (és a dir: nombres reals tals que no existeix cap algorisme que els calculi). El primer que vaig pensar era que no podia ser possible, que tot nombre real havia de poder ser aproximat amb tanta precisió com es volgués; pensant-hi una mica més profundament, però, resulta que és ben cert.

Remeto aquí una demostració que m'ha vingut al cap per demostrar l'existència d'aquests nombres (la demostració en si no té res en especial -si no no l'hagués trobat-, és només d'idea feliç):

Enunciat: Existeixen nombres tals que no poden ser calculats amb un algorisme amb una precisió tan gran com es vulgui.

Demostració:

Considerem el conjunt de tots els algorismes que poden ser implementats en un ordinador: per força han de ser algorismes finits. Tals algorismes estan escrits amb els caràcters usuals: per tant, podem pensar en un algorisme com una fila de caràcters ordenats l'un darrere l'altre. Definim, doncs, una bijecció entre aquests algorismes i els nombres naturals:
Senzillament comptem quants caràcters s'utilitzen per a fer els algorismes -podem suposar que els algorismes s'escriuen en codi ASCII, que té 128 caràcters diferents-, i enviem cada algorisme al seu corresponent nombre en un sistema de numeració en base 128. Evidentment molts d'aquests "nombres" no tindran sentit com a algorismes, per tant el conjunt d'algorismes implementats i amb sentit és un conjunt més petit, i és un subconjunt dels nombres naturals (tot i que és un subconjunt prou gran com per seguir tenint el mateix cardinal: n'hi ha prou amb pensar, per exemple, que en qualsevol algorisme ben implementat hi podem afegir el caràcter "espai" arbitràriament i seguirà funcionant). La resta és història: els nombres naturals i els nombres reals no tenen el mateix cardinal, i es conclou la prova.

Em sembla una cosa ben curiosa tenir la idea d'això: la part intel·ligent no és la demostració, sinó l'enunciat.

Per cert, si voleu veure una demostració que els nombres reals i els nombres naturals no tenen el mateix cardinal (per dir-ho intuïtivament -però malament!-, que el conjunt dels nombres reals és més gran que el dels naturals) aneu aquí.