Simultani

Simultani: un concepte un pèl complicat quan un està quiet i és l'altre qui fa tota la feina... encara més si es mou a velocitats pròximes a la llum.

He de dir que no he entès la vinyeta fins que no he llegit la nota al peu de la imatge:

I'm leaving you for your twin. He's more mature than you by now.

Molt bo. XKCD segueix sent tan recomanable com sempre.

L'hotel infinit i com omplir-lo

Com omplir un hotel infinit que té totes les habitacions plenes?

Si les habitacions estan totes plenes, com s'ho fan per encabir-hi un hoste més? Doncs molt senzill, cada hoste se'n va a l'habitació següent de la seva: l'1 a la 2, el 2 a la 3, etc. Tots els hostes tenen habitació, i a més queda la primera lliure.
Si venen infinits hostes, com ho fem? Doncs molt senzill també: cada hoste se'n va a l'habitació número el doble a l'actual: el 1 aniria a la 2, el 2 a la 4, el 6 a la 12, etc. I quedarien infinites habitacions: totes les senars.
Finalment, què faríem si venen infinits grups d'infinits hostes? Doncs no és tan senzill com fins ara, però  en certa manera ja és previsible què toca: construïm l'aplicació de $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ definidia de manera que $k\mapsto f(k)=2^k$, on $k$ és un nombre natural, i enviem l'hoste de l'habitació $k$-èssima a l'habitació $f(k)$. Evidentment, encara queden moltes habitacions. Ara, assignem a cada grup infinit d'hostes un nombre primer (no hi ha cap problema en fer-ho perquè hi ha infinits nombres primers), i numerem cada hoste de dins de cada grup. Així, l'hoste número $k$ del grup $p$ l'enviem a l'habitació $p^k$, i problema resolt.

De fet, encara ens sobrarien infinites habitacions: aquesta faula és un exemple més que la unió numerable de conjunts numerables és, també, un conjunt numerable (una definició que s'usa normalment per decidir si el cardinal d'un conjunt és infinit, és el fet de poder establir una aplicació bijectiva entre el conjunt total i un subconjunt estrictament més petit).

El cotxe que vivia sobre un arbre

A qui hagi llegit o vist alguna pel·lícula de Harry Potter, això potser li sonarà... Però de totes maneres segueix sent bastant surrealista, perquè aquest arbre deu fer ben bé 10 metres d'alçada.

M'encantarà llegir les vostres teories de com coi hi va arribar allà dalt, a veure qui ho endevina :)

----

Solució: l'arbre aquest mesura ben bé 10 o 12 metres, de manera que suposar que l'arbre ha arribat fins a dalt amb un tornado, un huracà o que algú s'ha pres la molèstia de posar-lo, és suposar molt. De fet la cosa és al revés: no va ser el cotxe qui es va posar a sobre l'arbre, sinó l'arbre que va créixer sobre un cotxe abandonat als anys 70. Cal dir que és un arbre d'aquells que fan cautxo, que creixen molt ràpid i són molt "elàstics" en la forma.

Nombres no computables

Vaig llegir, si no recordo malament a Microsiervos, una anotació que parlava sobre nombres que no són computables (és a dir: nombres reals tals que no existeix cap algorisme que els calculi). El primer que vaig pensar era que no podia ser possible, que tot nombre real havia de poder ser aproximat amb tanta precisió com es volgués; pensant-hi una mica més profundament, però, resulta que és ben cert.

Remeto aquí una demostració que m'ha vingut al cap per demostrar l'existència d'aquests nombres (la demostració en si no té res en especial -si no no l'hagués trobat-, és només d'idea feliç):

Enunciat: Existeixen nombres tals que no poden ser calculats amb un algorisme amb una precisió tan gran com es vulgui.

Demostració:

Considerem el conjunt de tots els algorismes que poden ser implementats en un ordinador: per força han de ser algorismes finits. Tals algorismes estan escrits amb els caràcters usuals: per tant, podem pensar en un algorisme com una fila de caràcters ordenats l'un darrere l'altre. Definim, doncs, una bijecció entre aquests algorismes i els nombres naturals:
Senzillament comptem quants caràcters s'utilitzen per a fer els algorismes -podem suposar que els algorismes s'escriuen en codi ASCII, que té 128 caràcters diferents-, i enviem cada algorisme al seu corresponent nombre en un sistema de numeració en base 128. Evidentment molts d'aquests "nombres" no tindran sentit com a algorismes, per tant el conjunt d'algorismes implementats i amb sentit és un conjunt més petit, i és un subconjunt dels nombres naturals (tot i que és un subconjunt prou gran com per seguir tenint el mateix cardinal: n'hi ha prou amb pensar, per exemple, que en qualsevol algorisme ben implementat hi podem afegir el caràcter "espai" arbitràriament i seguirà funcionant). La resta és història: els nombres naturals i els nombres reals no tenen el mateix cardinal, i es conclou la prova.

Em sembla una cosa ben curiosa tenir la idea d'això: la part intel·ligent no és la demostració, sinó l'enunciat.

Per cert, si voleu veure una demostració que els nombres reals i els nombres naturals no tenen el mateix cardinal (per dir-ho intuïtivament -però malament!-, que el conjunt dels nombres reals és més gran que el dels naturals) aneu aquí.

Le Sacre du Printemps

Le Sacre du Printemps, amb el nom en què va ser estrenat a París l'any 1913 (en català és conegut com "la consagració de la primavera"), és un ballet fet per Igor Stranvinsky, compositor que va viure entre 1882 i 1971 en part a Rússia (el seu país d'origen), en part a Suïssa, en part a França i, en general, a Los Angeles.
L'obra pertany a la seva època "russa", probablement la més trencadora, i treballa amb harmonies complicades, força revolucionàries pel temps en què es va fer. Tan revolucionàries que, de fet, la gent va marxava escandalitzada a mig ballet el dia de l'estrena -com es nota que no estaven en crisi. Anys després, el 1940, l'obra va ser seleccionada per fer-ne una representació artística a la pel·lícula Fantasia.

Per mi, Stravinsky va ser un dels últims grans compositors clàssics: va seguir avançant en l'art de la composició i va tenir una influència enorme. Obres com aquesta o l'ocell de foc em semblen espectaculars, i tan difícils de copsar amb paraules que el millor és escoltar-les per entendre què hi ha al darrere.
La veritat és que després d'ell, puc comptar amb els dits d'una mà -i encara me'n sobren- els grans compositors per a orquestra simfònica que hi ha hagut. Ja se sap que a partir dels 40 moltes coses canvien: la producció musical (amb l'arribada de la música moderna) augmenta moltíssim, i la qualitat, en termes generals, disminueix.

Però oblidem-nos ara de tot això i deixem, encara que sigui momentànient, la reflexió de banda. Escoltem i deixem-nos captivar per la bellesa de la consagració de la primavera. I, si podem, fem un esforç per entendre què hi ha més enllà de la closca de l'obra.

Vídeos 2, 3 i 4

Ma Bohème

Que em perdoni el Senyor per no haver actualitzat abans, però és que un dia que m'ho vaig proposar, vaig començar a escriure, el firefox es va tancar i em vaig emprenyar.

Dit això. La veritat és que el meu francès és poc més que existent: no sé escriure, no entenc tot el que llegeixo i tot just sé pronunciar algunes paraules i frases mal construïdes. Però m'agrada pensar que quan llegeixo alguna cosa bonica en francès, puc copsar la bellesa inherent que porta implícita, igual que qui disfruta escoltant una simfonia de Beethoven i no ha trobat mai el moment d'aprendre música.

En certa manera això és el que em passa quan llegeixo poemes de Rimbaud, aquell enfant terrible francès tan genial que tot just era un adolescent quan va deixar d'escriure per sempre.

Deixo aquí el poema Ma Bohème, que probablement té significat per a tothom en algun moment o altre de la seva vida:

Je m'en allais, les poings dans mes poches crevées;
Mon paletot soudain devenait idéal;
J'allais sous le ciel, Muse, et j'étais ton féal;
Oh! là là! que d'amours splendides j'ai rêvées!

Mon unique culotte avait un large trou.
Petit-Poucet rêveur, j'égrenais dans ma course
Des rimes. Mon auberge était à la Grande-Ourse.
Mes étoiles au ciel avaient un doux frou-frou

Et je les écoutais, assis au bord des routes,
Ces bons soirs de septembre où je sentais des gouttes
De rosée à mon front, comme un vin de vigueur;

Où, rimant au milieu des ombres fantastiques,
Comme des lyres, je tirais les élastiques
De mes souliers blessés, un pied près de mon coeur!

Arthur Rimbaud

L'hotel infinit de Hilbert

Per si algú es preguntava d'on redimonis sortia el nom d'aquest blog i què representava, espero que aquesta història/enigma sigui il·lustrativa...

Hi havia una vegada un equip de constructors que volien construir un hotel: el més gran que s'hagués fet mai. Un dels constructors va dir: "Farem un hotel amb 10000 habitacions!", però ràpidament un altre replicà "Sí, però i si algú construeix un hotel amb 10001 habitacions? Aleshores el nostre ja no serà l'hotel més gran!". El primer s'ho va rumiar, i va dir: "Està bé, doncs en farem un de 10001 habitacions", però la resposta no tardà a arribar: "Aleshores sortirà algú i en farà un amb 10002 habitacions! No ho veus que això pot seguir així infinitament?". El primer s'ho va tornar a pensar i va dir "Ja està! En farem un amb infinites portes".

Un cop construït l'hotel amb infinites portes, aquestes es van numerar: 1, 2, 3... Hi havia, doncs, una porta per cada nombre natural. Quan l'hotel es va obrir al públic, es va produir un èxit sense precedents: ràpidament s'ompliren totes les portes. Així que un dia es presentà un nou hoste, en busca d'habitació. L'hotel estava completament ple... però el recepcionista, que era molt espavilat, va idear una manera de recol·locar els hostes existents de manera que el nou hi càpigués. Com s'ho va fer? (1)

Al cap d'uns dies, amb el nou hoste ben col·locat, es presentà un grup d'infinits hostes. Però el recepcionista, que era més llest que el recepcionista mitjà, se les va arreglar altre cop i els va fer cabre a tots, després d'una redistribució dels hostes. Com s'ho va fer? (2)

Finalment arribaren infinits grups d'infinits hostes, i el recepcionista, ja acostumat a aquesta mena de reptes, els va fer cabre altre cop. Com s'ho va fer? (3)

Aquesta història, mig conte mig problema, se la va inventar el brillant matemàtic David Hilbert per il·lustrar el concepte d'infinit (l'infinit dels nombres naturals, també conegut com aleph-0), per ajudar a entendre les "paradoxes" que poden sorgir quan tractem amb aquesta idea tan ambigua (bé, hem de donar les gràcies a Cantor ja que gràcies a la seva feina aquest concepte és perfectament clar avui dia (matemàticament parlant, és clar)).

Quan em va venir la idea de fer un blog, vaig tenir molt clar de seguida què era el que hi volia escriure. El que més em va costar decidir va ser el nom, i finalment em vaig decidir per aquest, "l'hotel de Hilbert", per representar el fet que no vull restringir-me a res: vull tractar tants temes com sigui possible i de temàtica tan diversa com sigui possible. M'agradaria contenir-hi l'infinit, i amb un hotel com aquest estic segur que anem per bon camí.

PD: Em farà molta gràcia si algú soluciona els problemes (1), (2) i (3)!

Avui no tinc ganes d'escriure

Avui hem fet (jo i la companya Irene) l'examen teòric de conduir. És una de les raons per les quals feia dies que no actualitzava: estava enfeinat fent testos. Una excusa com qualsevol altra, però ara mateix la primera que em ve al cap (perquè mira que fer testos d'aquests és avorrit eh?).
De manera que com que és tard, estic cansat i no em dóna la gana escriure, poso un vídeo de Victor Wooten força entretingut. És increïble el que fa aquest home amb el baix... que després no diguin que no pot ser un instrument solista, perquè la peça aquesta és la bomba:

Per cert, en vista dels comentaris, no us faci mandra llegir les actualitzacions com la de les corbes de Bézier. En realitat de matemàtica dura no n'he posat: és més divulgatiu que altra cosa.

Apa bona nit!

Les corbes de Bézier

Moltes vegades no ens preguntem certes coses perquè, de tant veure-les, les prenem per normals. És una cosa tan normal que, després, quan ens demanen com funciona, no tenim més remei que acceptar la nostra ignorància.

Un exemple d'això són els gràfics fets per ordinador. Ah! Tothom ha vist figures 3-dimensionals, ha jugat a jocs plens de circumferències i políedres, ha vist Toy Story... Però si algú ho hagués de fer des del principi, quanta gent en sortiria airosa? Quants tindrien la idea de com s'ha de construir, per exemple, una esfera?

Anem a trossos: la primera cosa que s'ha de saber és que tot això es programa informàticament; la segona, que totes aquestes figures són representacions d'objectes matemàtics (exemple: una esfera la podem "dibuixar" a partir de la gràfica de la funció explícita (1-x^2-y^2)^1/2=z). Fins aquí molts -la majoria, espero- ho sabeu. Següent pas: d'acord, jo tinc la funcio d'una esfera. Què faig amb això? Com ho represento a la pantalla de l'ordinador? Com ho faig perquè quedi en perspectiva, amb les parts de darrere més petites i les de davant més grans, i que tot plegat sembli natural, com si l'ordinador no fos més que un forat amb una pilota dins? Aquí ja no crec que hi arribi tanta gent, perquè la pregunta és "superior", una mica filosòfica i tot: com veiem nosaltres les coses? Perquè les coses que estan més lluny les veiem més petites, si potser tenen la mateixa mida que objectes més propers? Però això ja ho tractarem un altre dia: ara anem cap a les corbes de Bézier.

El que venia a explicar és que, en gràfics per ordinador, ens trobem amb el problema que sovint s'han de fer representacions de gràfiques de funcions. El problema és que aquestes gràfiques tenen infinits punts (tenen tants punts com nombres reals hi ha, normalment), i això són molts punts! En canvi una pantalla d'ordinador està feta de píxels, i és clar que una gràfica, si la volguéssim fer bé, no hi cabria: el que s'ha de fer és donar una aproximació. I aproximar funcions es pot fer de moltes maneres: interpolació polinòmica, mínims quadrats, Splines... i amb corbes de Bézier, que són una manera tant suau de passar entre punts, que no puc més que admirar-les.
No em proposo donar una explicació formal de com es construeixen, això ho podeu mirar a la wikipedia aquí. Però sí que diré que les aplicacions que tenen des que les va descobrir l'enginyer que els va donar nom, són infinites en la computació gràfica: photoshop, illustrator, autoCAD, el paint (sí, fins i tot el paint!)... també tinc entès que s'utilitzen per fer les línies de les vies de tren.

Us deixo algunes imatges aquí perquè us feu una idea "intuïtiva" de com es construeixen, a partir d'un cert conjunt de tres punts:

I això és la generalització de les corbes per a un nombre qualsevol de punts (vaja, és només un exemple, però em sembla que queda força clar):

Stringfever

Qui havia dit que els instruments clàssics formen part del passat?
Evidentment està equivocat. "Formar part del passat", ser una "moda"... paraules com aquestes no es poden aplicar a la música de debò, senzillament perquè són conceptes que no encaixen plegats de cap manera. De vegades ens trobem amb obres tan ben escrites, tan ben pensades, tan belles, que transcendeixen qualsevol corrent que se les vulgui emportar i no tenen cap calaix on posar etiquetes.
Agradi o no, sovint és obvi que la qualitat de la música és tan gran, que va més enllà de qualsevol cànon: després d'haver-la escoltat, qui vulgui afirmar el contrari o és un mentider o és que no ha entès gaire res.

Però me'n vaig per les branques: el que volia era presentar Stringfever. Tots amb formació clàssica i tocant instruments de corda, han donat un toc "elèctric" a la seva formació, que juntament amb el seu sentit de l'humor han produït joies com aquesta:

I si algú té valor i s'atreveix amb el Bolero de Ravel, que vagi aquí...

La gran gal·làxia d'Andròmeda

Avui toca tema astronòmic. Tothom ha sentit a parlar de les galàxies, i més o menys sap què són i com són. Però qui les ha observat alguna cop?

La Via Làctea, la nostra galàxia, que conté el sol i el sistema solar, és probablement la única que tothom, encara que sense voler, ha vist alguna vegada. A les ciutats i indrets amb excés de contaminació lumínica és impossible d'observar estrelles i cossos celests; això no obstant, a muntanya o llocs apartats la Via Làctea es pot veure fàcilment com una línia brillant que creua el cel (és normal veure-la així ja que nosaltres hi estem a dins).

Com a característiques principals la nostra galàxia és una espiral barrada de tipus "b", té un radi de 100.000 anys llum i una massa aproximada de 1'9 bilions de masses solars (és a dir, que té tanta massa com 1'9 bilions de sols junts).
Com he dit, però, veure la Via Làctea no té massa gràcia: escoltem el seu nom massa sovint, i veure-la al cel és molt i molt senzill. Anem a una altra galàxia doncs: la gran galàxia d'Andròmeda.

Es troba a 2'5 milions d'anys llum de la nostra (és a dir, "molt" a prop comparat amb les dimensions bestials que té l'univers). De fet, és la galàxia més propera a la nostra, i s'està apropant. Es calcula que la Via Làctea i la galàxia d'Andròmeda s'acosten l'una a l'altra amb una velocitat d'uns 120 km/segon, i que ambdues galàxies col·lisionaran d'aquí a uns 2.500 milions d'anys (tranquils que ja serem tots morts!). Però calma, que les col·lisions de galàxies són d'allò més normals, i no signifiquen la fi de les seves estrelles. Més aviat al contrari: s'espera que es formarà una nova gal·làxia el·líptica gegant, amb molta activitat.

La galàxia d'Andròmeda és espiral "b" i té 110.000 anys llum de radi i una massa calculada d'uns 1'3 bilions de masses solars: això la converteix pràcticament en una galàxia germana a la nostra, ja que són de característiques similars. Tot i això, aquesta és més brillant que la nostra (es creu que gran part de la massa de la Via Làctea es troba en forma de matèria negra).

Ben segur que molts pensareu: a mi això què m'importa, jo vull mirar el cel i trobar aquesta galàxia! Doncs esteu de sort perquè probablement és la única -a part de la nostra- que es pot veure a ull nu (tot i que sembla més petita del que és perquè l'únic que es veu és el bulb central, molt més brillant que les branques de l'espiral). Trobar-la és força senzill: és la part que brilla més de la constel·lació d'Andròmeda (que la podeu trobar fàcilment amb una carta astral).

El que resulta curiós a molta gent (almenys a mi m'ho va semblar quan ho vaig llegir) és la mida que té: no ho sé, suposo que sembla "raonable" pensar que els objectes del cel profund han de ser molt i molt petits, i que sense telescopi nanai de la China; no és el cas de la galàxia d'Andròmeda.
Al contrari: vindria a ser tan gran com 7 llunes juntes si les poséssim de costat (llàstima que els nostres ulls no admetin prou llum com per a poder contemplar-la!).

Representació de la mida aparent d'Andròmeda al costat de la Lluna:

Mark King

Level 42 és un grup britànic de funk que va tenir molt èxit entre els anys 80 i 90, amb més de 30 milions de discos venuts arreu del món. Les cares més reconeixibles del grup són el baixista Mark King i el teclista Mike Lindup, els vocalistes i únics membres estables.

Com ja va sent normal últimament, cada vegada que descobreixo un grup (és a dir, que començo a escoltar música seva), un grup amb bons músics i temes que m'agraden, resulta que són d'una altra època i que probablement no els podré veure mai ni seguiran component. Ja em va passar abans al descobrir els Brecker Brothers (amb Michael Brecker i Randy Brecker, saxofonista i trompetista respectivament i uns fora de sèrie els dos), al descobrir Queen (que tot i no tenir virtuosos, musicalment era molt complet) , Weather Report (Zawinul i Pastorius), The Police (no tan excepcionals, però també mítics), etc.

Sempre em passa el mateix: grup nou que m'agrada implica que algun dels components està mort, o que s'han dissolt, o que tots tenen 70 i 80 anys... Evidentment sempre queda la música clàssica, que per escoltar-la en directe no necessites que el senyor Mozart surti de la tomba per posar-se a dirigir l'orquestra, però el cas és el mateix (tots els compositors de música clàssica que ens arriben estan, òbviament, morts i enterrats). Suposo que en part és lògic, i que de la gran quantitat de música que es fa és difícil destriar-ne la bona sense que el temps hagi filtrat una mica les obres trivials o escombraria i ens faci la feina més fàcil.

Us deixo un vídeo d'un solo bastant recent del Mark King -és un monstre de l'slap, a banda de cantar i tocar alhora (que, si es fa bé, és una cosa immensament difícil!). El tema es diu "Mr Pink", i és d'uns dels primers àlbums del grup.

La història del LHC

Hi ha hagut molt de rebombori últimament sobre la posada en marxa del LHC (que, per cert, torna a estar aturat per culpa d'una fuga d'heli). A tots ens han arribat informacions diverses, de mil i una fonts diferents: que permetrà comprovar la validesa (o no) del model estàndard de la física, que és una font d'innovació tecnològica enorme, que s'acosta l'apocalipsi i morirem tots absorvits per un forat negre... Algunes són certes, d'altres no tant. La qüestió és que l'accelerador de partícules no ha sorgit del no-res: han calgut 15 anys de planificacions, inversions i construccions per arribar a la situació actual, amb un monstre tecnològic acabat de més de 27km de llarg que ha costat 3.000 milions d'euros.

Us deixo uns links del youtube amb un documental de la National Geographic sobre la construcció del LHC que a mi m'ha semblat molt interessant:

Vídeo: 1, 2 , 3 , 4, 5

L'hotel de Hilbert obre les portes!

He circulat per diversos formats: space de Msn, fotolog, alguna ullada a facebook. La veritat és que no m'he adaptat gaire bé en cap dels casos, sempre m'han semblat bastant incomplets i encartronats, deixant de banda el tema -especialment ridícul en el cas dels fotologs- dels missatges mutus d'amor i enyorança. Potser sóc d'una altra època, però les competicions per veure qui té més amics virtuals no són del meu rotllo; tampoc m'apassionen aquestes pàgines de filosofia l'Oreal, del "porque yo lo valgo", plenes de fotos del seu propietari -fotos que, per cert, han estat repetides centenars de vegades fins que el senyoret/a ha donat el vist-i-plau a la seva pròpia imatge. Per això, i per molts altres motius, inauguro la meva primera incursió al món dels blogs, inspirat per webs cèlebres com Microsiervos o Gaussianos.

Pel que fa al contingut, no m'agradaria tancar portes. Hi haurà una mica de tot el que m'agrada: música (clàssica, barroca, moderna, però en qualsevol cas bona música), matemàtiques, astronomia, tecnologia, literatura, natura i muntanyisme, internet... I un llarg etcètera de coses que, suposo, se m'aniran acudint a mesura que vagi escrivint.
"Oh benvinguts, passeu passeu!", que a casa meva hi ha moltes portes i segur que en alguna habitació t'hi trobaràs còmode!