L'hotel infinit i com omplir-lo

Com omplir un hotel infinit que té totes les habitacions plenes?

Si les habitacions estan totes plenes, com s'ho fan per encabir-hi un hoste més? Doncs molt senzill, cada hoste se'n va a l'habitació següent de la seva: l'1 a la 2, el 2 a la 3, etc. Tots els hostes tenen habitació, i a més queda la primera lliure.
Si venen infinits hostes, com ho fem? Doncs molt senzill també: cada hoste se'n va a l'habitació número el doble a l'actual: el 1 aniria a la 2, el 2 a la 4, el 6 a la 12, etc. I quedarien infinites habitacions: totes les senars.
Finalment, què faríem si venen infinits grups d'infinits hostes? Doncs no és tan senzill com fins ara, però  en certa manera ja és previsible què toca: construïm l'aplicació de $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ definidia de manera que $k\mapsto f(k)=2^k$, on $k$ és un nombre natural, i enviem l'hoste de l'habitació $k$-èssima a l'habitació $f(k)$. Evidentment, encara queden moltes habitacions. Ara, assignem a cada grup infinit d'hostes un nombre primer (no hi ha cap problema en fer-ho perquè hi ha infinits nombres primers), i numerem cada hoste de dins de cada grup. Així, l'hoste número $k$ del grup $p$ l'enviem a l'habitació $p^k$, i problema resolt.

De fet, encara ens sobrarien infinites habitacions: aquesta faula és un exemple més que la unió numerable de conjunts numerables és, també, un conjunt numerable (una definició que s'usa normalment per decidir si el cardinal d'un conjunt és infinit, és el fet de poder establir una aplicació bijectiva entre el conjunt total i un subconjunt estrictament més petit).