Kurt Gödel

Si no recordo malament a la revista de la SCM (societat catalana de matemàtiques) es proposava un nou barem per a avaluar les publicacions dels matemàtics: no es tractava només d'analitzar la dificultat del problema estudiat, sinó també la seva rellevància i impacte dins del món.

Un matemàtic que obtindria unes notes altíssimes amb aquest nou mètode seria Kurt Gödel: malgrat introduir tècniques força revolucionàries, el seu treball no es caracteritzava per ser extremadament difícil... però carai si va ser impactant! Tothom, fins i tot els de fora del gremi, n'han sentit a parlar alguna vegada: que si va provar que les matemàtiques són incompletes, que si aquesta frase és falsa, que si indecidibilitat... Però, exactament, qui era aquest home?
La Viquipèdia us en podria donar la solució, però pels mandrosos:

Kurt Gödel fou un matemàtic austríac-americà, un lògic profund que va desenvolupar el Teorema d'incompletesa, afirmant que qualsevol sistema axiomàtic consistent prou potent per descriure l'aritmètica dels enters permet proposicions (sobre enters) que no es poden provar ni refutar. També va produir una feina celebrada sobre la Hipòtesi del Continu, en què demostrà que no es pot refutar del conjunt d'axiomes de teoria de conjunts i suposant que aquests axiomes són consistents.

Bé, per avui el plagi de la Viquipèdia és suficient. Ara bé, si jo no tinc ni idea de matemàtiques i no sé què és un sistema axiomàtic ni la hipòtesi del Continu, de què m'esteu parlant?
Bàsicament, la rellevància del treball d'aquest home resideix en el fet que va provocar un terratrèmol immens en la filosofia de les matemàtiques: Ah!, ciència perfecta on tot és demostrable i la intuïció la podem tirar per la finestra!

Doncs no!

Gödel demostrà que existeixen sentències sobre els nombres naturals (del tipus "El nombre 2 és un nombre parell") tals que no es pot provar que siguin certes o falses. És més, va demostrar que és inevitable que existeixin tals sentències si el sistema axiomàtic triat és prou complex (en aquest cas prou complex significa que és capaç de contenir els nombres naturals). Pels matemàtics de la vella escola això va significar l'anarquia, i alguns al principi es van dedicar a negar l'evidència: però la demostració era massa senzilla per a poder-hi trobar errors.

De fet, la "idea" de la demostració és tan senzilla que es pot entendre tenint un mínim -molt bàsic- de coneixements matemàtics, i properament us l'explicaré.