Arts i lletres   |   Cites  |   Ciència i Tecnologia   |   General   |   Humor   |   Música

24 de gen. 2010

El conjunt de Mandelbrot

Per fractal s'entén normalment una estructura geomètrica autosemblant: és a dir, que després d'una certa divisió del conjunt en subconjunts més petits, aquests últims són semblants al primer. Recordem que la semblança entre dos objectes equival a dir que tenen la mateixa "forma", si bé un pot ser més petit que l'altre: per exemple, un edifici i la seva maqueta són semblants (més rigorosament, en un espai euclidià dos objectes són semblants si i només si les distàncies entre punts anàlegs són proporcionals per una certa constant d'escala $k$ positiva).

A la natura hi trobem moltíssims exemples de figures pseudo-fractals: els més clàssics són les espirals del cargol, el broccoli (que veiem a la imatge que encetava el post), els flocs de neu, la falguera... La llista probablement sigui infinita, però si ens guiéssim només per "aquesta forma tan divertida que tenen", sense intentar transcendir i anar un pas més enllà, tindríem un grup de figures curioses i res més. Per sort no és així, i aquesta mena d'objectes admeten molt sovint una modelització matemàtica.

Comencem per un exemple clàssic, senzill i no per això menys bonic: el floc de neu de Koch. La construcció és ben simple: prenem un triangle equilàter, i el modifiquem seguint la iteració següent: en el pas $i$-èssim, a cada costat hi afegim un triangle equilàter de base un terç de la mida del costat. El floc de neu es defineix com l'objecte límit obtingut després d'haver fet infinites iteracions. Al dibuix següent s'hi mostren les 4 primeres:
Com sempre, amb un exemple és molt fàcil d'imaginar-se com funcionen les coses. En aquest cas ja es veu com seguiria si construíssim més iteracions, tot i que a la quarta l'estructura principal ja es pot intuir bastant, així com aquesta suposada forma de floc de neu. El nom del fractal, però, és més circumstancial que altra cosa: se l'anomena floc de neu perquè és innegable que la forma i la simetria hexagonal ens el recorden, però això no significa que els flocs de neu de debò siguin així (perquè de fet no ho són).
Es tracta, en qualsevol cas, d'un bell exemple de corba contínua que no és diferenciable en cap dels seus punts.

Altre cop, però, la impressió és que amb aquest tipus d'operacions i d'iteracions algorísmiques descobrim poc més que la sopa d'all. Necessitem alguna cosa més potent i que ens acosti a l'anhelat model que busquem: i amb el conjunt de Mandelbrot podem veure finalment una relació directa entre els nombres i la geometria.

Per a entendre què és el conjunt de Mandelbrot, necessitem primer definir la següent iteració (es pressuposa familiaritat amb els nombres complexos):
  • $z_0 = 0$
  • $z_{n+1} = z^2_n+c$
En la definició anterior, $z_i$, $c$ són nombres complexos de $\mathbb{C}$. Ara, donada una certa constant $c$ complexa, amb els nombres $z_i$ poden passar dues coses: que estiguin fitats per a tot $n$ o que no ho estiguin i es facin infinitament grans quan $n$ creixi. Aleshores, direm que un cert nombre complex $c$ pertany al conjunt de Mandelbrot si, i només si, al repetir infinitament la iteració anterior utilitzant aquest nombre com a la constant especificada, els nombres $z_i$ estan tots fitats.

Si bé la definició pot semblar una mica estranya, en el moment de fer un dibuix del pla complex per veure quina forma té aquest conjunt de nombres ens podem emportar una sorpresa. Els ordinadors ens faciliten la feina, i ens proporcionen la imatge següent:


I tal com sembla, la frontera o "part exterior" d'aquest conjunt és un fractal: ens hi podríem apropar tant com volguéssim, que mai arribaríem al final (aquí podeu veure'n una imatge). El conjunt de Mandelbrot, a més, té bones propietats. És connex (de fet existeix una aplicació conforme entre el complementari del conjunt i el complementari del disc unitari) i la seva definició admet generalitzacions a altres fractals i a altres dimensions, com el també cèlebre conjunt de Julia.

Les matemàtiques, guarnides amb dibuixos i geometria, poden ser molt boniques. I, al cap i a la fi, amb dos ulls i un xic d'imaginació n'hi ha prou per a fer una bona passejada, de manera que si teniu 5 minuts i no sabeu en què invertir-los, de fractals internet en va ple.

3 comentaris:

Alasanid ha dit...

Un tema fascinant. Tinc unes quantes coses pendents d'escriure sobre temes fractals.

Del floc de neu de Koch el que a vegades sorprèn més és que l'àrea que delimita és finita mentre que el seu perímetre és infinit. Que entre dos punts qualssevol del perímetre hi ha una distància infinita.

Pel que fa al conjunt de Mandelbrot... Això sí que és un monstre!

Gerard ha dit...

Això de l'àrea finita i perímetre infinit té la seva gràcia si fas el procés invers. És a dir, si sense conèixer el floc de neu et diuen: troba una figura plana de perímetre infinit però d'àrea finita. Al principi et rasques una mica el cap, però en el moment que t'ensenyen el floc i com es construeix es veu molt clar :)

Anònim ha dit...

molt intiresno, gracies