El problema del cotxe, la gasolina, i el circuit circular

Després de veure que no sóc l'únic a qui agrada resoldre problemes, he decidit que de tant en tant en posaré algun al blog, a veure si algú s'anima a solucionar-lo. El d'avui és un clàssic que a algú segurament ja li sonarà:

Un cotxe ha de donar una volta a un circuit circular. En aquest circuit hi ha $n$ dipòsits amb una certa quantitat de gasolina, cadascun dels quals ha sigut situat aleatòriament en un punt del circuit. Entre tots els dipòsits, sumen la quantitat justa de gasolina que el cotxe necessita per a donar una volta. El cotxe comença amb el dipòsit buit. Demostrar que amb independència del número, posició i quantitat de combustible de cada dipòsit, sempre es pot escollir un punt de sortida tal que permetrà al cotxe completar la volta.

Nota: el consum és uniforme i proporcional a la distància recorreguda. Suposarem que el circuit és una línia corba tancada.

----------

Actualització: penjo la solució.

Situem el cotxe en qualsevol dels punts d'aprovisionament de gasolina i recorrem tot el circuit (si en algun moment ens quedem sense gasolina, seguim amb "gasolina negativa"). La gràfica de la quantitat de gasolina en funció de la distància serà d'aquest tipus:

Els punts on la gasolina augmenta de cop són aquells on hi haurà un dipòsit de gasolina. El pendent és sempre el mateix, ja que el consum de gasolina és constant i proporcional a la distància recorreguda: més concretament, aquest pendent serà . Vegem que els punts sota l'eix d'abscisses representen situacions impossibles: és a dir, situacions amb gasolina negativa.

Notem ara que la funció tindrà sempre un mínim (en aquest cas situat al punt 3): com que la forma de la gràfica serà invariant prenguem el punt de sortida que prenguem, n'hi ha prou amb situar el cotxe en un d'aquests mínims per assegurar que podrem recórrer tot el circuit.

$\square$