Arts i lletres   |   Cites  |   Ciència i Tecnologia   |   General   |   Humor   |   Música

26 de gen. 2010

Un joc amb monedes

Un nou dia, un nou problema:
Tenim una taula amb $n$ monedes i el següent joc per a dos jugadors (que anomenarem el jugador primer i el jugador segon): començant pel primer i per torns, cada jugador agafa una o dues monedes. Dels dos jugadors, el que retiri la última haurà perdut.
Doneu una estratègia que permeti guanyar el joc. Si depèn de si s'és el jugador primer o el segon, especifiqueu-ho en cada cas.
Bona caça!

3 comentaris:

matgala ha dit...

Tot depèn del nombre de monedes (mòdul 3).

Si només hi ha una moneda, òbviament perd el primer jugador.

Si hi ha dos monedes, el primer jugador guanya agafant-ne una.

Si hi ha 3 monedes, el primer jugador guanya agafant-ne 2.

Si hi ha 4 monedes, el primer jugador perd faci el que faci, perquè si n'agafa una, el segon té 3 monedes (i per tant, estratègia guanyadora), i si n'agafa 2, el segon té 2 monedes (altre cop estratègia guanyadora).

D'aquí en endavant, podem demostrar per inducció que si el nombre de monedes és congruent amb 1 mòdul 3, el primer jugador perd, i sinó, té estratègia guanyadora.

- Si el nombre de monedes és múltiple de 3, el primer jugador ha d'agafar 2 monedes, amb el que deixa al segon amb monedes=1(mod 3), i per tant, perdut.

- Si el nombre de monedes és=2(3), el primer jugador agafa 1 moneda i deixa al segon en situació perduda.

A partir d'aquí, el jugador que està perdut només pot agafar una o dues monedes. Si n'agafa una, l'altre n'agafa 2. I si n'agafa 2, l'altre 1. 3 monedes menys, continua tenint un nombre =1(3), i tornem a començar, fins que a l'altre jugador només li quedi 1 moneda (òbviament =1(3)), i l'haurà d'agafar, amb el que perdrà.

Gerard ha dit...

Exacte. Si et toca tirar, et trobes amb la situació n=1(3) i l'altre juga bé, has perdut. I si ets el primer jugador i et trobes n=2(3) o n=0(3), extraient una o dues monedes li passes a l'altre la situació n=1(3).

Anònim ha dit...

el que estava buscant, gracies