Una desigualtat qualsevol

L'altre dia fent un problema de matemàtiques em va resultar útil la següent desigualtat:

\[a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\]

On $a$, $b$, $c$ eren nombres reals qualssevol. A "ull" ja veia que era certa, però sovint amb això no n'hi ha prou, i em vaig proposar demostrar-la. Segurament, el que es podria esperar a continuació seria una prova rigorosa i directa, però els que estan habituats a fer problemes saben que normalment les idees bones no es presenten màgicament: sovint s'ha de fer gala del prova i error.

Per això avui us proposo una demostració un xic diferent: serà, més aviat, una descripció de les coses que m'anaven passant pel cap fins que vaig aconseguir concloure la prova. Som-hi:

Primer de tot, podem suposar sense perdre generalitat que $a\geq b \geq c$. Ara tenim: $ab+bc+ca=a(b+c)+bc$. Aquí podríem fer un canvi de variables: canviant b i c pel nombre que hi ha entremig (la seva mitjana aritmètica), ja es veu que obtindríem un valor més gran. Seria qüestió de posar $\frac{b+c}{2}=k$, i llavors -almenys aquesta és la hipòtesi- $2ak+k^2\geq a(b+c)+bc$. D'aquesta última desigualtat només s'hauria de demostrar la segona part, que $k^2\geq bc$, perquè els dos primers sumands són idèntics. Fem-ho:

$k^2=\frac{b+c}{2}\cdot\frac{b+c}{2}=\frac{b^2+c^2}{4}+\frac{bc}{2}\geq bc \Leftrightarrow \frac{b^2+c^2}{4} -\frac{bc}{2}=(\frac{b-c}{2})^2\geq 0$, que sempre és cert.

Per tant, tenim $a^2+b^2+c^2\geq 2ak+k^2$. D'aquesta desigualtat, podríem provar de substituir a l'esquerra la $c^2$ per $k^2$ però... No, no m'agrada. Amb els quadrats és difícil d'incloure la $k$ enlloc sense destarotar-ho massa i passar-me. Tornem al començament, no pot ser tan complicat.

Provem d'elevar al quadrat $a+b+c$. Això ens donaria:

\[(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\]

que no està malament perquè recorda força a la desigualtat que estem buscant. Tampoc acaba de ser perfecte, però, perquè si volguéssim inventar-nos una desigualtat aquí, al passar els $2ab$, $2bc$ i $2ca$ a la dreta sortirien signes negatius. Mirant el parèntesi que hem elevat, ja es veu que això no es pot solucionar perquè no podem posar cap signe menys a dins sense alterar la simetria de la desigualtat, que és completament simètrica. A més, aquest dos multiplicant... No funciona bé això. De totes maneres la clau ha d'estar per aquí. Puc canviar-ho una mica de manera que em surti una expressió simètrica amb alguna resta pel mig? Ja està, em sembla que ja ho tinc:

\[0\leq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca \Leftrightarrow\] \[2ab+2bc+2ca\leq 2a^2+2b^2+2c^2 \Leftrightarrow ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 \]

Sí, ja està. A més, el mètode permet generalitzacions a conjunts de nombres més grans. Tot i així, amb la terna seguirem tenint la desigualtat més bonica, perquè serà la única on tot nombre estarà multiplicat amb tot altre nombre.