Arts i lletres   |   Cites  |   Ciència i Tecnologia   |   General   |   Humor   |   Música

6 de nov. 2008

Les corbes de Bézier

Moltes vegades no ens preguntem certes coses perquè, de tant veure-les, les prenem per normals. És una cosa tan normal que, després, quan ens demanen com funciona, no tenim més remei que acceptar la nostra ignorància.

Un exemple d'això són els gràfics fets per ordinador. Ah! Tothom ha vist figures 3-dimensionals, ha jugat a jocs plens de circumferències i políedres, ha vist Toy Story... Però si algú ho hagués de fer des del principi, quanta gent en sortiria airosa? Quants tindrien la idea de com s'ha de construir, per exemple, una esfera?

Anem a trossos: la primera cosa que s'ha de saber és que tot això es programa informàticament; la segona, que totes aquestes figures són representacions d'objectes matemàtics (exemple: una esfera la podem "dibuixar" a partir de la gràfica de la funció explícita (1-x^2-y^2)^1/2=z). Fins aquí molts -la majoria, espero- ho sabeu. Següent pas: d'acord, jo tinc la funcio d'una esfera. Què faig amb això? Com ho represento a la pantalla de l'ordinador? Com ho faig perquè quedi en perspectiva, amb les parts de darrere més petites i les de davant més grans, i que tot plegat sembli natural, com si l'ordinador no fos més que un forat amb una pilota dins? Aquí ja no crec que hi arribi tanta gent, perquè la pregunta és "superior", una mica filosòfica i tot: com veiem nosaltres les coses? Perquè les coses que estan més lluny les veiem més petites, si potser tenen la mateixa mida que objectes més propers? Però això ja ho tractarem un altre dia: ara anem cap a les corbes de Bézier.

El que venia a explicar és que, en gràfics per ordinador, ens trobem amb el problema que sovint s'han de fer representacions de gràfiques de funcions. El problema és que aquestes gràfiques tenen infinits punts (tenen tants punts com nombres reals hi ha, normalment), i això són molts punts! En canvi una pantalla d'ordinador està feta de píxels, i és clar que una gràfica, si la volguéssim fer bé, no hi cabria: el que s'ha de fer és donar una aproximació. I aproximar funcions es pot fer de moltes maneres: interpolació polinòmica, mínims quadrats, Splines... i amb corbes de Bézier, que són una manera tant suau de passar entre punts, que no puc més que admirar-les.
No em proposo donar una explicació formal de com es construeixen, això ho podeu mirar a la wikipedia aquí. Però sí que diré que les aplicacions que tenen des que les va descobrir l'enginyer que els va donar nom, són infinites en la computació gràfica: photoshop, illustrator, autoCAD, el paint (sí, fins i tot el paint!)... també tinc entès que s'utilitzen per fer les línies de les vies de tren.

Us deixo algunes imatges aquí perquè us feu una idea "intuïtiva" de com es construeixen, a partir d'un cert conjunt de tres punts:

Animation of a quadratic Bézier curve, t in [0,1]

I això és la generalització de les corbes per a un nombre qualsevol de punts (vaja, és només un exemple, però em sembla que queda força clar):


Animation of a quartic Bézier curve, t in [0,1]


5 comentaris:

L'Ull Prodigiós ha dit...

A veure si t'ho sabré explicar... has d'afegir un gadget que és el d'etiquetes. Suposo que això ja ho has fet. Llavors, quan editis un missatge veuràs que a baix d'on has escrit el text hi ha un petit requadre que hi posa: opcions del missatge, etiquetes per aquest missatge. Doncs allà has d'escriure l'etiqueta que vols i ja et sortirà a la dreta de la pantalla.


Ara llegiré aquest article, a veure si entenc alguna coseta... jurs i dissabte no ens veurem. Apa, tant temps veient-nos gairebé cada dia i ara...

en fi, un petó noi i sort per l'examen!!!

Irene ha dit...

la Núria, que també té blog i t'ha deixat un missatge diu que a veure si li contestes que sinó no et llegirà mai més.

Bona sortida i cuida't, C.B.!

Irene

Irene ha dit...

Demà, demà és el gran dia...

Prepara't per un xàfec?

Hem de quedar, al vespre et truco!

Núria MG ha dit...

Que vagi molt bé l'examen!

Quan tingui el cap clar intentaré llegir el text i entendre'n alguna cosa. Mentrestant, et recomano que entris a http://oriolesteve.blogspot.com/ i que facis alguna ullada, perquè és el bloc d'un amic amb molt sentit de l'humor.

nanit!!

Núria MG ha dit...

Perdó: el meu bloc, que ara no està gens actualitzat, és airunmg.blogspot.com