Per si algú es preguntava d'on redimonis sortia el nom d'aquest blog i què representava, espero que aquesta història/enigma sigui il·lustrativa...
Hi havia una vegada un equip de constructors que volien construir un hotel: el més gran que s'hagués fet mai. Un dels constructors va dir: "Farem un hotel amb 10000 habitacions!", però ràpidament un altre replicà "Sí, però i si algú construeix un hotel amb 10001 habitacions? Aleshores el nostre ja no serà l'hotel més gran!". El primer s'ho va rumiar, i va dir: "Està bé, doncs en farem un de 10001 habitacions", però la resposta no tardà a arribar: "Aleshores sortirà algú i en farà un amb 10002 habitacions! No ho veus que això pot seguir així infinitament?". El primer s'ho va tornar a pensar i va dir "Ja està! En farem un amb infinites portes".
Un cop construït l'hotel amb infinites portes, aquestes es van numerar: 1, 2, 3... Hi havia, doncs, una porta per cada nombre natural. Quan l'hotel es va obrir al públic, es va produir un èxit sense precedents: ràpidament s'ompliren totes les portes. Així que un dia es presentà un nou hoste, en busca d'habitació. L'hotel estava completament ple... però el recepcionista, que era molt espavilat, va idear una manera de recol·locar els hostes existents de manera que el nou hi càpigués. Com s'ho va fer? (1)
Al cap d'uns dies, amb el nou hoste ben col·locat, es presentà un grup d'infinits hostes. Però el recepcionista, que era més llest que el recepcionista mitjà, se les va arreglar altre cop i els va fer cabre a tots, després d'una redistribució dels hostes. Com s'ho va fer? (2)
Finalment arribaren infinits grups d'infinits hostes, i el recepcionista, ja acostumat a aquesta mena de reptes, els va fer cabre altre cop. Com s'ho va fer? (3)
Aquesta història, mig conte mig problema, se la va inventar el brillant matemàtic David Hilbert per il·lustrar el concepte d'infinit (l'infinit dels nombres naturals, també conegut com aleph-0), per ajudar a entendre les "paradoxes" que poden sorgir quan tractem amb aquesta idea tan ambigua (bé, hem de donar les gràcies a Cantor ja que gràcies a la seva feina aquest concepte és perfectament clar avui dia (matemàticament parlant, és clar)).
Quan em va venir la idea de fer un blog, vaig tenir molt clar de seguida què era el que hi volia escriure. El que més em va costar decidir va ser el nom, i finalment em vaig decidir per aquest, "l'hotel de Hilbert", per representar el fet que no vull restringir-me a res: vull tractar tants temes com sigui possible i de temàtica tan diversa com sigui possible. M'agradaria contenir-hi l'infinit, i amb un hotel com aquest estic segur que anem per bon camí.
PD: Em farà molta gràcia si algú soluciona els problemes (1), (2) i (3)!
Hi havia una vegada un equip de constructors que volien construir un hotel: el més gran que s'hagués fet mai. Un dels constructors va dir: "Farem un hotel amb 10000 habitacions!", però ràpidament un altre replicà "Sí, però i si algú construeix un hotel amb 10001 habitacions? Aleshores el nostre ja no serà l'hotel més gran!". El primer s'ho va rumiar, i va dir: "Està bé, doncs en farem un de 10001 habitacions", però la resposta no tardà a arribar: "Aleshores sortirà algú i en farà un amb 10002 habitacions! No ho veus que això pot seguir així infinitament?". El primer s'ho va tornar a pensar i va dir "Ja està! En farem un amb infinites portes".
Un cop construït l'hotel amb infinites portes, aquestes es van numerar: 1, 2, 3... Hi havia, doncs, una porta per cada nombre natural. Quan l'hotel es va obrir al públic, es va produir un èxit sense precedents: ràpidament s'ompliren totes les portes. Així que un dia es presentà un nou hoste, en busca d'habitació. L'hotel estava completament ple... però el recepcionista, que era molt espavilat, va idear una manera de recol·locar els hostes existents de manera que el nou hi càpigués. Com s'ho va fer? (1)
Al cap d'uns dies, amb el nou hoste ben col·locat, es presentà un grup d'infinits hostes. Però el recepcionista, que era més llest que el recepcionista mitjà, se les va arreglar altre cop i els va fer cabre a tots, després d'una redistribució dels hostes. Com s'ho va fer? (2)
Finalment arribaren infinits grups d'infinits hostes, i el recepcionista, ja acostumat a aquesta mena de reptes, els va fer cabre altre cop. Com s'ho va fer? (3)
Aquesta història, mig conte mig problema, se la va inventar el brillant matemàtic David Hilbert per il·lustrar el concepte d'infinit (l'infinit dels nombres naturals, també conegut com aleph-0), per ajudar a entendre les "paradoxes" que poden sorgir quan tractem amb aquesta idea tan ambigua (bé, hem de donar les gràcies a Cantor ja que gràcies a la seva feina aquest concepte és perfectament clar avui dia (matemàticament parlant, és clar)).
Quan em va venir la idea de fer un blog, vaig tenir molt clar de seguida què era el que hi volia escriure. El que més em va costar decidir va ser el nom, i finalment em vaig decidir per aquest, "l'hotel de Hilbert", per representar el fet que no vull restringir-me a res: vull tractar tants temes com sigui possible i de temàtica tan diversa com sigui possible. M'agradaria contenir-hi l'infinit, i amb un hotel com aquest estic segur que anem per bon camí.
PD: Em farà molta gràcia si algú soluciona els problemes (1), (2) i (3)!
.png)
6 comentaris:
I un hotel amb àlef_1 habitacions, eh? :)
ets un penjat tio,
escrius coses que només entén el senyor HIlbert
segur que quedeu el diumenges per jugar al risc
no no, era broma, co-cap!
Jo ja ho sé...
^^
Uff a plorar demà, no?
Una abraçada!
Irene
P.D. I ha sigut brutal la sortida de C/LL!!! (i ningú s'ha enyorat!)
tu que ets matemàtic (bé, projecte de matemàtic) em pots dir on està l'error en aquesta demostració?
1 = (-1)*(-1)
sqrt(1) = sqrt [(-1)*(-1)]
sqrt(1) = sqrt[-1]*sqrt[-1]
1 = i*i
1 = -1
L'error està en el sqrt(-1*-1)=sqrt(-1)*sqrt(-1)
En el camp dels complexos en general no és cert que (a*b)^c=a^c*b^c
mira mira
ostres
qui ho diria, eh?
Publica un comentari a l'entrada