Aquil·les i la tortuga

Zenó d'Elea fou un filòsof grec que visqué cap al segle 5 a.C. Deixeble de Parmènides -i segons les fonts que ens han arribat, el seu favorit-, és famós per una sèrie de "paradoxes" que va proposar, per a mostrar que, tal i com indicava el seu mestre, el moviment no existeix.
El cert és que de les paradoxes n'hi ha de més i de menys encertades, però al final totes acaben sent fal·làcies, que l'únic que demostren és que les matemàtiques de l'època encara eren molt tendres. És una llàstima, perquè en comptes de perdre el temps ideant paradoxes per il·lustrar la veritat sobre un sistema de postulats equivocats, Zenó podria haver-se'n adonat i haver-se convertit en el pare del concepte de límit, perdurant com un savi i no com un home que es va inventar una sèrie de curiositats.

En qualsevol cas, la paradoxa que a mi em sembla més brillant és la d'Aquil·les i la tortuga. Diu així:

Aquil·les i una tortuga organitzen una cursa. Com que ell corre molt més ràpid, segur de les seves possibilitats, decideix donar-li uns quants metres de marge.
Es dóna el tret de sortida, i Aquil·les ràpidament arriba a la posició des d'on ha començat la tortuga: a l'arribar allà, però, descobreix que la tortuga ja ha avançat un nou tros i es troba en una posició més avançada. Així doncs, Aquil·les segueix corrent: això no obstant, al recórrer la distància que els separava fa un moment, es troba altre cop que la tortuga ha tornat a avançar. Així, Aquil·les no guanyarà mai la cursa ja que sempre tindrà la tortuga al davant.

El primer que a destacar és que aquesta història no demostra, ni de bon tros, que el moviment no existeixi, tan si és correcta com si és equivocada. En qualsevol cas, el problema principal és que la paradoxa no és, en realitat una paradoxa: de fet, Aquil·les sí que avançarà la tortuga al cap d'un cert temps.

Per a demostrar-ho fem una sèrie de suposicions:

1. La velocitat d'Aquil·les és superior a la de la tortuga.
2. Aquil·les comença des de la posició "0 metres" i la tortuga des d'una posició més avançada.

Només amb això ja seríem capaços de veure on rau l'error de l'asseveració final, però com que els càlculs serien una mica carregosos, anem a fer suposicions una mica més fortes, per a simplificar els càlculs.

1. Aquil·les va a 2 metres per segon i la tortuga a un metre per segon.
2. Aquil·les comença des de la posició 0 i la tortuga des de la posició 2 metres.

Anem a veure què implica això:

Ens trobem amb una sèrie d'intervals temporals, que podríem enumerar de l'1 a l'infinit, que són els del temps que passa entre que Aquil·les està en la posició anterior de la tortuga fins a la següent posició de la tortuga:

• Es dóna el tret de sortida (temps = 0). Al cap d'un segon, com que Aquil·les va 2 m/s, Aquil·les es trobarà a la posició 2 metres, que és la posició inicial de la tortuga. En aquest temps, la tortuga (que va a un metre per segon), haurà avançat un metre.
• Per tant, la següent "posició" d'Aquil·les es donarà quan aquest hagi avançat un metre: Aquil·les, que va a 2 m/s, tardarà només mig segon en fer un altre metre. Mentrestant, en mig segon la tortuga haurà tingut temps d'avançar només mig metre, ja que la seva velocitat és la meitat que la d'Aquil·les.
• Generalitzant-ho, observem que aquests "intervals" temporals són cada cop més petits: és a dir, que Aquil·les tarda a cada nou interval la meitat de temps que havia necessitat la última vegada per a arribar fins a la posició de la tortuga.
• Per tant, si inicialment ha necessitat 1 segon, al segon interval necessitarà 1/2 segon, al tercer 1/4 de segon, etc...
• I si observem quant temps és això en total, veurem que:

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32...=2

És a dir, la conclusió és que el fet que Aquil·les no avanci mai la tortuga implica, necessàriament, que el temps considerat és finit! Bàsicament el que ens indica és que Aquil·les no és que no pugui atrapar la tortuga, sinó que Zenó no li dóna prou temps! Un cas anàlog seria el d'un cotxe i un vianant: si el vianant es troba a un km del cotxe, per molt ràpid que vagi aquest, es tardarà un cert temps en atrapar-lo. I si li dónes només 2 segons, segurament serà impossible que l'atrapi.

Una manera de veure que la suma d'abans és, efectivament, 2, és observar el següent diagrama

Veiem que l'àrea total del rectangle és 2, i que 1+1/2+1/4... en el límit és 2.

Amb un temps superior a 2 segons Aquil·les hauria sigut capaç d'atrapar i deixar ben enrere la tortuga.