L'equilibri de Nash i el pedra, paper, tisora (1)

A aquells que hagueu vist "A Beautiful mind", amb en Russell Crowe, us sonarà el nom del brillant matemàtic americà John Forbes Nash. En J.F.Nash, que va rebre el Nobel d'economia l'any 1994, va realitzar treballs importants en diferents àmbits de les ciències exactes: geometria diferencial, teoria d'equacions en derivades parcials i teoria de jocs, essent potser aquesta última categoria per la qual és més conegut dins de la cultura popular. En aquest àmbit, arrel de la presentació de la seva tesi doctoral, va introduir el que avui es coneix com a "equilibri de Nash".

I això, què és? Imaginem-nos un joc en el qual participen dos o més jugadors, i imaginem-nos també determinada situació en la qual cadascun d'ells ha posat en pràctica una estratègia que li reporta certs resultats. Suposem ara que, si un d'aquests jugadors canviés o variés la seva estratègia, els seus resultats empitjorarien. Aquesta situació és un exemple d'equilibri de Nash: vaja, que un equilibri de Nash es pot donar quan el conjunt de jugadors són egoïstes (és a dir, que van a vetllar pels seus propis interessos i consideren enemics els altres jugadors). Si cap dels jugadors obté cap benefici variant la seva estratègia mentre un altre jugador no ho faci abans, és evident que ningú no la canviarà, i es donarà un equilibri. De vegades el concepte dóna lloc a resultats poc intuïtius: és possible, per exemple, que si dos jugadors es coordinessin, fossin capaços de millorar els resultats. Però aquest no és el cas: l'equilibri se centra en les preferències pròpies de cadascun dels participants. Per dir-ho d'alguna manera, els jugadors vetllen pels seus propis interessos perquè no es refien de fer tractes amb l'adversari. Diguéssim que eviten traïcions anant completament a la seva. I tot i que aquesta situació no es doni sempre, la seva importància rau en que permet modelar moltíssimes situacions reals, des de jocs d'oci fins a mercats econòmics.

Anem a veure com funciona aquest equilibri a la pràctica, mitjançant un cas ben conegut per tothom: el pedra-paper-tisores.

Es tracta d'un joc per a dos persones, que consisteix a mostrar alhora una mà formant una de les tres figures que diu el títol del joc: la pedra se simbolitza amb el puny tancat, el paper amb la mà oberta i la tisora amb dos dits aixecats. El resultat final (o guanya un o guanya l'altre) es decideix segons l'outcome o sortida del joc: la tisora talla (i guanya) el paper del contrari, el paper embolica (i guanya) la pedra rival i la pedra esclafa la tisora.

Ara que ja sabem jugar-hi, posem-nos a la situació de cadascun dels jugadors: per ells, una estratègia significa una manera d'escollir quina de les tres possibles sortides faran en les properes partides. Per exemple, anar alternant paper, tisores, paper, tisores, paper... Bé, és una estratègia possible, però la veritat és que no és gaire bona: si l'altre jugador és mínimament intel·ligent, ben aviat s'adonarà del patró i s'anticiparà. Així doncs, quina manera tenim de no ser previsibles? La resposta és senzilla: triar pedra, paper o tisora aleatòriament (o com a mínim, que a l'adversari li sembli aleatori).

Ens trobem, doncs, amb el cas en què tots dos jugadors trien sortides aleatòriament. Si algun dels dos canviés d'estratègia i es posés a seguir un patró, el resultat seria beneficiós per l'altre, ja que podria preveure la sortida i guanyar-lo. Per tant, no interessarà a cap dels dos deixar de triar aleatòriament: es donarà un equilibri de Nash, i d'esquitllada hem demostrat que la millor estratègia en el pedra, paper, tisora és escollir aleatòriament. Una conseqüència d'aquest resultat és que el campió mundial de pedra-paper-tisora (sí, sí: ho heu llegit bé. Existeix tal competició) és, senzillament, un paio que té MOLTA sort.

En el segon capítol, parlaré de la relació del pedra, paper, tisora amb The Big Bang Theory i amb una curiosa espècie de llangardaix tropical.