Les transformacions de Möbius són un grup de transformacions del pla que s'expressen normalment en forma de funció racional de $z$, essent aquest un nombre complex qualsevol. Per als no matemàtics, us les heu d'imaginar com un conjunt de maneres de "transformar" el pla en si mateix.
Explícitament, la fórmula d'aquestes transformacions és:
\[ f(x) = \frac{a z + b}{c z + d}\]
Es requereix, quan es tracta amb funcions d'aquest tipus, que el producte $ad-bc$ sigui diferent de zero, per evitar que la funció sigui constant.
Les transformacions de Möbius tenen totes les propietats boniques que se'ls pot demanar: es tracta de funcions holomorfes i, per tant, conformes. Això significa que qualsevol transformació de Möbius conserva els angles originals. Com sempre que es parla de funcions en sentit geomètric, el més probable és que una imatge ens ajudi molt a imaginar-nos les coses:
Una manera força senzilla de classificar les funcions de Möbius és la següent:
- Dilatacions: tan senzill com sembla. Ampliacions del pla (com si agaféssim una lupa i ens hi acostéssim).
- Rotacions
- Translacions: vindria a ser el "canvi de lloc" del pla anterior. Com si l'agaféssim tot junt i el canviéssim de posició.
- Inversions: potser les més difícils d'imaginar.
- Combinacions dels anteriors
.png)
Cap comentari:
Publica un comentari a l'entrada