Arts i lletres   |   Cites  |   Ciència i Tecnologia   |   General   |   Humor   |   Música

11 de gen. 2010

Tres demostracions senzilles de la divergència de la sèrie harmònica

Una sèrie és una successió del tipus $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. És a dir: una suma infinita dels termes $a_i$, que són nombres reals. Els valors $a_n$ són els que determinen si la sèrie té límit o no: per exemple, si tenim que cada $a_n=1$, és clar que la sèrie serà divergent (en aquest cas això vol dir que tendirà a infinit, ja que $1+1+1+1+1+1...$ és més gran que qualsevol número natural, i la suma no tindrà "sostre").

Avui ens proposem donar tres demostracions senzilles diferents (i n'hi ha innombrables) del fet que la sèrie  $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ és divergent. És clar que tots els termes són positius i que la sèrie és creixent, per tant aquesta tendirà a infinit.

Demostració 1 (reducció a l'absurd):


Si la successió $S_n=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ tingués límit finit $S$, existiria un nombre natural $n$ tal que $|S-S_n|<\frac{1}{2}$. En particular, tenim la desigualtat següent:
\[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+k}<\frac{1}{2}\]
I aquesta desigualtat ha de ser vertadera per a tot $k\in \mathbb{N}$. Per contra, tenim que:
\[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}>n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\]
que és una contradicció. Per tant, $S_n$ no té límit finit.

Demostració 2 (surt amb una mica de vista):


\[\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+...>\]\[>\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...=\]\[=1+(\frac{1}{2})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+...=\]\[=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=\infty\]
Demostració 3 (una de visual):


Si interpretem la suma de fraccions com una integral, ràpidament veiem que els termes $\frac{1}{n}$ recobreixen tota la gràfica de la funció $f(x)=\frac{1}{x}$. Es dedueix, per tant, que la suma dels termes és estrictament superior a la integral de $f(x)$, que és la ben coneguda funció $\ln(x)$ i que quan $x\rightarrow \infty$ té límit $+\infty$.



3 comentaris:

Mi sa el ha dit...

escolta, Gerard, fes-ho més senzill pels "plebeus" com jo, que sembla interessant però tan que no pillo re

apa

Alasanid ha dit...

Recordo que una vegada un professor (a l'institut) ens va proposar que li diguéssim si divergia o no i ens va deixar amb l'excel... Que creixés tan a poc a poc ens va enganyar...

Després de la nostra resposta errònia ens va fer la segona demostració. Ara, però, ja en conec dues més!

Gerard ha dit...

Misael: per cada post matemàtic que faig n'hi ha 5 que no ho són. No et queixis tant xD

Alasanid: és la gràcia de la sèrie harmònica! Que creix mooolt a poc a poc, i per comparar amb altres sèries que no sabem si són divergents o no va molt bé.
De fet, si considerem les sèries que són suma dels inversos dels naturals elevats a alguna potència, l'harmònica (és a dir: la que té els nombres elevats a 1) és la que està elevat a un nombre més gran i no convergeix. Per a qualsevol x>1, la sèrie amb els termes elevats a x ja és convergent.